假設 $V$ 是一個向量空間, $u_1, \ldots, u_n \in V$, 如果向量 $v \in V$ 可以表示成 \[ v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n, \] 其中 $a_1, \ldots, a_n$ 為純量, 則我們說 $v$ 是 $u_1, \ldots, u_n$ 的一個線性組合。
假設我們要判斷 $u=(-2,0,3)$ 是否為 $v_1=(1,3,0)$, $v_2=(2,4,-1)$ 之線性組合。我們看看要如何用 Maxima 解決這樣的問題。
首先, 我們先用 Maxima 定義這三根向量:
(%i1) u: [-2,0,3]; v1: [1,3,0]; v2: [2,4,-1];由 $v_1$, $v_2$ 組成的任意線性組合應該是:
(%i2) uu: x*v1 + y*v2;其輸出為
u=uu, 亦即
\[
(-2,0,3) = (2 y + x, 4 y + 3 x, - y),
\]
那麼 $u$ 就是 $v_1$ 和 $v_2$ 的線性組合。換句話說, 就是以下的線性系統有解。
\[
\begin{cases}
x + 2y = -2 \\
3x + 4y = 0 \\
-y = 3
\end{cases}
\]
這個線性系統其實很容易解, 不過我們還是練習一下怎麼樣用 Maxima 來解。我們先看怎麼樣每一個式子叫出來, 請試
(%i3) uu[1]; uu[2]; uu[3];這會輸出
再來, 我們用 solve 指令就可以解這個線性系統。請觀察以下指令是怎麼下達的。
(%i6) solve([uu[1]=-2, uu[2]=0, uu[3]=3],x);結果